《說謊者的骰子》是一款精彩的遊戲，容易學習，但難以精通。 它在運氣和策略之間保持了很好的平衡。 如果你還不了解這個遊戲，我鼓勵你去嘗試一下，它非常適合團體玩樂。
在我們最後一次遊戲中，當我們進入最後兩名玩家時，出現了一個有趣的情況。 一名玩家還剩下6顆骰子，而他的對手只剩下1顆。 當然，這引發了許多討論和旁觀者的賭注。 主要的問題是我們試圖（或爭論）回答以下幾個問題：
擁有6顆骰子的玩家是否可以製定最佳策略來保證獲勝？
如果不能，那麼擁有隻有1顆骰子的玩家有什麼勝算？
於是，一個賭注誕生了，甚至不涉及實際玩遊戲的兩位玩家。
玩家策略
在討論賭注之前，我們需要達成一致，即擁有6顆骰子的玩家應採取什麼策略。 我們很快就意識到，為了避免“虛張聲勢”，擁有6顆骰子的人應該只報告他們能報告的最高點數，並希望擁有1顆骰子的對手無法打敗他們。 因此，例如，如果擁有1、1、3、4、4、5這6顆骰子，他應該報告四個4（1被視為通配符）。
賭注雙方
我在大學學習了一些博弈論課程，因此我傾向於認為總是會有某種奇怪的最佳策略。 儘管我沒有找到這種策略，但我當然會立刻嘗試。 我的目標是找到一致的策略（不允許變化的虛張聲勢，儘管這是遊戲的關鍵組成部分），然後計算它能獲勝的機率。 這是一種統計學（因此肯定是穩贏的，對吧？）的方法來解決這個問題。
數學計算顯示，擁有6顆骰子的人只會在對手擁有與他們報告的相同數量或擁有1（通配符）的情況下輸掉比賽。 以1、1、3、4、4、5為例，如果他報告了四個4，那麼處於劣勢的一方只有在他擁有4或1的情況下才能獲勝，從而可以報告五個4並獲勝。 擲出1和另一個特定的點數將會在3次中發生1次，而且需要連續發生6次才能輸掉比賽。 換句話說，只有1次中的729次才會讓處於劣勢的一方獲勝。
期望值
首先，讓我們來討論「我們可以期望多少個相同點數的骰子？」的問題。 例如，如果我們擲五顆骰子，我們可以預期其中有幾個是點數為2的？ 回答這個問題需要用到期望值的概念。
隨機變數的期望值是該值發生的機率乘以該值本身的乘積。
第一個骰子是2的機率是1/6。 由於每個骰子都是獨立的，所以任何一個骰子都是2的機率都是1/6。 這表示擲出的2的數量的期望值是1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6。
當然，擲出2這個結果並沒有什麼特別之處。 我們考慮的骰子數量也沒有什麼特別之處。 如果我們擲n個骰子，那麼任何一種可能的點數1到6的期望值都是n/6。 這個數值對於我們質疑其他玩家所提出的叫價時提供了一個基準。
例如，如果我們用六個骰子玩《說謊者的骰子》，那麼點數1到6的期望值都是6/6 = 1。 這意味著如果有人叫價超過1的任何價值，我們都應該持懷疑態度。 從長遠來看，我們應該平均得到每種可能的點數一次。
擲出特定組合的例子
假設我們擲出五顆骰子，我們想找出擲出兩個3的機率。 一個骰子為3的機率是1/6。 一個骰子不為3的機率是5/6。 由於這些骰子的擲出是獨立事件，所以我們使用乘法規則將這些機率相乘。
前兩個骰子都是3且其他骰子都不是3的機率由以下乘積給出：
(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)
前兩個骰子都是3只是一種可能性。 是哪兩顆骰子是3並不重要。 我們用*表示不是3的骰子。 以下是在五次擲骰子中擲出兩個3的可能方式：
3, 3, * , * ,*
3, * , 3, * ,*
3, * , * ,3 ,*
3, * , * , *, 3
*, 3, 3, * , *
*, 3, *, 3, *
*, 3, * , *, 3
*, *, 3, 3, *
*, *, 3, *, 3
*, *, *, 3, 3
我們可以看到，有十種方式可以擲出剛好兩個3的點數組合。
現在，我們將上面的機率乘以可以有這種骰子配置的10種方式。 結果是10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776，約16%。
一般情況
現在，我們將上面的例子推廣。 我們考慮擲出n個骰子並且其中恰好有k個是特定點數的機率。
和之前一樣，得到想要的點數的機率是1/6。 無法得到這個點數的機率由補集規則給出，為5/6。 我們希望n個骰子中有k個是我們選擇的點數。 這意味著n – k個骰子是除我們想要的點數以外的另一個點數。 前k個骰子是某個特定點數的機率與其餘骰子不是這個點數的機率的乘積：
(1/6)^k(5/6)^(n – k)
透過組合計數原理，我們知道有C(n, k)種方式可以在n個骰子中擲出k個特定點數的組合，其中C(n, k)是組合的數量，由公式n!/(k !(n – k)!)給出。
綜合考慮一切，當我們擲n個骰子時，恰好k個骰子是特定點數的機率由以下公式給出：
C(n, k) x (1/6)^k(5/6)^(n – k)
還有另一種考慮這種問題的方法，即使用成功機率為p = 1/6的二項分佈。 恰好k個骰子是特定數字的機率的公式稱為二項分佈的機率質量函數。
至少的機率
還有另一種情況需要考慮，即至少擲出特定數量的某個點數的機率。 例如，當我們擲出五顆骰子時，至少擲出三個1的機率是多少？ 我們可以擲出三個1、四個1或五個1。 要確定我們想要找到的機率，我們需要將三種機率相加。